简谐运动的证明可由牛顿第二定律推出。假设一个质点在x轴上作简谐运动，其受到回复力F=-kx的作用。根据牛顿第二定律F=ma，可以得出质点的加速度a=-kx/m，进一步求出速度v=ω√(A²-x²)，其中A为振幅，x为质点相对平衡位置的位移，ω为角频率。然后对速度v积分得到质点的位移x=Asin(ωt+φ)。因此，简谐运动的运动规律可以用正弦函数表示，即x=Asin(ωt+φ)。